ตรีโกณมิติ

สรุปตรีโกณมิติ

การเห็นภาพรวมอย่างชัดเจน จะทำให้น้องทำความเข้าใจและจำได้อย่างเป็นระบบครับ

ขึ้นไป ^

ขึ้นไป ^

ขึ้นไป ^

ั

ขึ้นไป ^

ขึ้นไป ^

ขึ้นไป ^

 

รูปทรงเรขาคณิต

รูปเรขาคณิต / รูปทรงเรขาคณิต

รูปเรขาคณิต

รูป เรขาคณิต หมายถึง รูปต่างๆ ทางเรขาคณิต เช่น

รูปสามเหลี่ยม มีด้าน 3 ด้าน มีมุม 3 มุม

รูปสี่เหลี่ยม มีด้าน 4 ด้าน มีมุม 4 มุม

รูปห้าเหลี่ยม มีด้าน 5 ด้าน มีมุม 5 มุม

รูปหกเหลี่ยม มีด้าน 6 ด้าน มีมุม 6 มุม

รูปแปดเหลี่ยม มีด้าน 8 ด้าน มีมุม 8 มุม

รูปวงกลม มีเส้นโค้งเป็นวงกลม และห่างจากจุดศูนย์กลางเป็นระยะทางเท่ากัน

รูปวงรี มีเส้นเส้นโค้งเป็นวงรี โดยห่างจากจุดศูนย์กลางไม่เท่ากัน

รูปทรง เรขาคณิตรูปทรงเรขาคณิต หมายถึง รูปที่มีส่วนที่เป็นพื้นผิว ส่วนสูง และส่วนลึก หรือหนา

รูปทรงกลม

รูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก

 รูปทรงกระบอก


รูปเรขาคณิตสามมิติ

ระดับชั้นมัธยมต้นนี้ นักเรียนควรมีพื้นฐานเกี่ยวกับ พื้นที่ผิวและปริมาตรที่ควรทราบ ดังนี้

ปริซึม

ปริซึม เป็นรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีหน้าตัด(ฐาน) ทั้งสองข้างเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการหน้าตัด (ฐาน) ทั้งสองอยู่ในระนาบที่ขนานกัน มีหน้าข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก การเรียกชื่อปริซึมจะเรียกตามรูปหน้าตัดของปริซึมส่วนต่างๆของปริซึมมีชื่อเรียก ดังนี้

ทรงกระบอก

ทรงกระบอก เป็นรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานสองฐานเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการและอยู่บนระนาบที่ขนานกัน และเมื่อตัดรูปเรขาคณิตสามมิตินั้นด้วยระนาบที่ขนานกับฐานแล้ว จะได้หน้าตัดเป็นวงกลมที่เท่ากันทุกประการกันฐานเสมอ ด้านข้างเป็นผิวเรียบโค้งส่วนต่างๆของทรงกระบอก

ข้อแตกต่างของปริซึมกับทรงกระบอก คือ

- ฐาน ปริซึมเป็นรูปหลายเหลี่ยมทรงกระบอกเป็นวงกลม- ด้านข้าง ปริซึมเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าทรงกระบอกเป็นผิวเรียบโค้ง

พีระมิด

พีระมิด เป็นรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมใดๆ มียอดแหลมที่ไม่อยุ่บนระนาบเดียวกันกับฐาน และหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกันที่ยอดแหลมนั้น การเรียกชื่อพีระมิดจะเรียกตามรูปฐานของพีระมิด

ส่วนต่างๆของพีระมิด

กรวย

กรวย เป็นรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปวงกลม มียอดแหลมที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกันกับฐาน และเส้นที่ต่อระหว่างจุดยอดกับจุดใดๆ บนขอบของฐานเป็นส่วนของเส้นตรงดด้านข้างเป็นผิวโค้งเรียบระมิ

ส่วนต่างๆของกรวย

ข้อแตกต่างของพีระมิดกับกรวย คือ- ฐาน พีระมิดฐานรูปหลายเหลี่ยมกรวยฐานรูปวงกลม

- ด้านข้าง พีระมิดเป็นรูปสามเหลี่ยมผืนผ้า

กรวยเป็นผิวเรียบโค้ง

ทรงกลม

ทรงกลม เป็น รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีด้านข้างเป็นผิวโค้งเรียบ และจุดทุกจุดบนผิวโค้งอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็นระยะเท่ากัน เรียกจุดคงที่ว่า จุดศูนย์กลางของทรงกลม

เรียกระยะที่เท่ากันว่า รัศมีของทรงกลม

ส่วนต่างๆของทรงกลม

สูตรมาตรฐานของสามเหลี่ยมสามเหลี่ยม=เศษหนึ่งส่วนสอง คูณ สูง คูณฐาน สูตรต่างๆของการหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม ความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมใดใด=ผลบวกของด้านทุกด้าน สี่เหลี่ยมผืนผ้า=กว้าง คูณ ยาว สี่เหลี่ยมจัตุรัส=ด้าน คูณ ด้าน สี่เหลี่ยมด้านขนาน=สูง คูณ ฐาน สี่เหลี่ยมคางหมู=เศษหนึ่งส่วนสอง คูณ ผลบวกด้านคู่ขนาน คูณ สูง สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน=เศษหนึ่งส่วนสอง คูณ ผลคูณของเส้นทแยงมุม สี่เหลี่ยมใดใด=เศษหนึ่งส่วนสอง คูณ เส้นทแยงมุม คูณ ผลบวกของเส้นกิ่ง สี่เหลี่ยมรูปว่าว=เศษหนึ่งส่วนสอง คูณ ผลคูณของ[แก้ไข] รูปเรขาคณิตสองมิติ แบ่งตามลักษณะของด้าน หรือ ขอบของรูปนั้น เช่น  รูปสามเหลี่ยม

รูปสี่เหลี่ยม   รูปหลายเหลี่ยม  หรือ  รูปวงกลม เป็นต้น ตัวอย่างรูปเรขาคณิตสองมิติ

รูปสามเหลี่ยม          รูปสี่เหลี่ยม            รูปหลายเหลี่ยม        รูปวงกลม

รูปเรขาคณิตสามมิติ เป็นรูปเรขาคณิตทรงสามมิติที่มีฐานหรือหน้าตัดเป็นรูปทรงต่างๆ เช่น

รูปทรงกระบอก    รูปทรงกลม  รูปพีระมิด  รูปปริซึม   รูปกรวย   เป็นต้น   ตัวอย่างรูปเรขาคณิตสามมิติ

รูปทรงกระบอก        รูปทรงกลม              รูปพีระมิด                 รูปปริซึม     รูปทรงเรขาคณิต เป็นรูปที่ประกอบด้วยจุด เส้นตรง ส่วนโค้งต่าง ๆ และถ้าอยู่ในระนาบเดียวกัน เราก็เรียกว่ารูประนาบ แต่ถ้าหากเป็นรูปทรงที่มีความหนา ความลึก ความสูง เราก็เรียกว่ารูปสามมิติ รูปทรงเรขาคณิต         หากเราหยิบภาชนะต่าง ๆ ที่อยู่รอบตัวเราขึ้นมาจะพบว่าประกอบด้วย รูปทรงเรขาคณิต หลากหลายรวมกัน ความคิดเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตในแนวทางคณิตศาสตร์มีพัฒนาการมายาวนานหลายพันปีแล้ว [แก้ไข] รูปทรงเรขาคณิตแบบต่าง ๆ          รู ปทรงกลม ลูกบอล แก้วน้ำ ภาชนะถ้วยชามต่าง ๆ ประกอบเป็นรูปร่างแบบต่าง ๆ ดังนั้นการจะอธิบายหรือออกแบบสิ่งต่าง ๆ จำเป็นต้องอาศัยทฤษฎีทางเรขาคณิต         ปัจจุบันประเทศไทยกำลังจะมีรถไฟใต้ดิน ลองนึกดูว่า ถ้าจะเจาะอุโมงค์ จากที่หนึ่งให้ทะลุหรือชนกับการเจาะมาจากอีกแนวหนึ่งได้ ต้องใช้หลักการทางเรขาคณิตมาช่วย          นักคณิตศาสตร์ เริ่มจากการกำหนดจุด จุดซึ่งไม่มีขนาด ไม่มีมิติ และถ้าเราให้จุดเคลื่อนที่แนวทางการเคลื่อนที่ของจุด ก่อให้เกิดเส้น         หากหยิบแผ่นกระดาษมาหนึ่งแผ่น ผิวของแผ่นกระดาษเรียกว่าระนาบ รูปที่เกิดบนกระดาษนี้เรียกว่ารูประนาบ และถ้าดูที่ผิวของถ้วยแก้วที่เป็นรูปทรงกระบอก เราก็จะเห็นผิวโค้ง ซึ่งเราอาจมองรูปผิวโค้งของถ้วยแก้วในลักษณะสามมิติ [แก้ไข] มิติต่าง ๆ ของรูปทรงเรขาคณิต         รูปทรงเรขาคณิต เป็นรูปที่ประกอบด้วยจุด เส้นตรง ส่วนโค้งต่าง ๆ และถ้าอยู่ในระนาบเดียวกัน เราก็เรียกว่ารูประนาบ แต่ถ้าหากเป็นรูปทรงที่มีความหนา ความลึก ความสูง เราก็เรียกว่ารูปสามมิติ         หากเราหยิบภาชนะต่าง ๆ ที่อยู่รอบตัวเราขึ้นมาจะพบว่าประกอบด้วย รูปทรงเรขาคณิต หลากหลายรวมกัน ความคิดเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตในแนวทางคณิตศาสตร์มีพัฒนาการมายาวนานหลายพันปีแล้ว

สูตรการพื้นที่และปริมาตรของเรขาคณิตรูปทรงต่าง ๆ

 สูตรการหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม

	พื้นที่  ทั่วไป	=--	× ฐาน × สูง
	พื้นที่  ด้านเท่า	=--	× (ด้าน)2
	พื้นที่  หน้าจั่ว	=--
	พื้นที่  มุมฉาก	=--	× ผลคูณของด้านประกอบมุมฉาก

 สูตรการหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม

	พื้นที่  จัตุรัส	=--	ด้าน × ด้าน หรือ (ด้าน)2
	หรือ	=--	12 × ผลคูณของเส้นทแยงมุม
	พื้นที่  ผืนผ้า	=--	กว้าง × ยาว
	หรือ	=--	ฐาน × สูง
	พื้นที่  ขนมเปียกปูน	=--	× ผลคูณของเส้นทแยงมุม
	หรือ	=--	ฐาน × สูง
	พื้นที่  ด้านขนาน	=--	ฐาน × สูง
	พื้นที่  รูปว่าว	=--	× ผลคูณของเส้นทแยงมุม
	พื้นที่  คางหมู	=--	× ผลบวกของด้านคู่ขนาน × สูง
	พื้นที่  ด้านไม่เท่า	=--	× เส้นทแยงมุม × ผลบวกของเส้นกิ่ง

 สูตรการหาพื้นที่รูปทรงอื่นๆ

	พื้นที่รูปวงกลม	=---
	พื้นที่ผิวของทรงกลม	=---
	พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก	=---	ความยาวรอบฐานของวงกลม × ส่วนสูง
	หรือ	=---	2 rh
	พื้นที่ผิวของทรงกระบอก	=---	พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่หน้าตัดทั้งสอง
		=---
	พื้นที่ผิวข้างของกรวย	=---	rℓ
	พื้นที่ผิวกรวย	=---	พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐาน
		=---	rℓ +  r2
		=---	r (ℓ + r)

พื้นที่ผิวข้างของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า	=	-- 12 × ความยาวเส้นรอบรูปของฐาน × สูงเอียง
พื้นที่ผิวของพีระมิด	=	---พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้าง
พื้นที่ผิวข้างของปริซึม	=	---เส้นรอบรูปของฐาน × สูง
พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม	=	---พื้นที่ผิวข้าง + 2 (พื้นที่หน้าตัด)

 สูตรการหาปริมาตรของรูปทรงเรขาคณิตต่างๆ

	ปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก	=---	กว้าง × ยาว × สูง
	ปริมาตรทรงลูกบาศก์	=---	(ด้าน)3
	ปริมาตรทรงกลม	=---
	ปริมาตรทรงกระบอก	=---	r2h
	ปริมาตรทรงกรวย	=---
	ปริมาตรทรงปริซึม	=---	พื้นที่ฐาน × สูง
	ปริมาตรทรงพีระมิด	=---