เทคนิคการหาร

เทคนิคการหารด้วย 10ⁿ 

10ⁿ คือ 10 หรือ 100 หรือ 1,000 ... ตัวเลขเหล่านี้ถ้านำไปเป็นตัวหาร จะได้ผลหารเป็นตัวเลขชุดเดียวกับตัวตั้ง แต่ตำแหน่งทศนิยมถูกเลื่อนไปทางซ้าย เท่ากับจำนวนเลข 0 ของตัวหาร เช่น

หารด้วย 10 ตัวหารมีเลข 0 หนึ่งตัว ได้ผลหารเป็นเลขชุดเดียวกับตัวตั้งแต่ตำแหน่งทศนิยมถูกเลื่อนไปทางซ้าย 1 ตำแหน่ง

หารด้วย 100 ตัวหารมีเลข 0 สองตัว ได้ผลหารเป็นเลขชุดเดียวกับตัวตั้งแต่ตำแหน่งทศนิยมถูกเลื่อนไปทางซ้าย 2 ตำแหน่ง

หารด้วย 1,000 ตัวหารมีเลข 0 สามตัว ได้ผลหารเป็นเลขชุดเดียวกับตัวตั้งแต่ตำแหน่งทศนิยมถูกเลื่อนไปทางซ้าย 3 ตำแหน่ง ถ้าจำนวนหลักของตัวตั้งไม่พอให้เติม 0

หารด้วย 10,000 ตัวหารมีเลข 0 สี่ตัว ได้ผลหารเป็นเลขชุดเดียวกับตัวตั้งแต่ตำแหน่งทศนิยมถูกเลื่อนไปทางซ้าย 4 ตำแหน่ง ถ้าจำนวนหลักของตัวตั้งไม่พอให้เติม 0

เนื่องจากการหารด้วยตัวเลขในกลุ่ม 10ⁿ นั้นหาผลหารได้ง่าย เราจึงพยายามแปลงตัวหารให้เข้ามาอยู่ในกลุ่ม 10ⁿ โดยอาศัยคุณสมบัติที่ว่า เมื่อคูณตัวตั้งและตัวหารด้วยเลขคงที่ตัวเดียวกัน ผลหารจะไม่เปลี่ยนแปลง 

ตัวอย่างที่ 1

ตัวหารเป็น 50 สามารถแปลงให้เป็น 100 โดยคูณด้วย 2 ถ้าคูณ 2 ที่ตัวหาร ต้องคูณ 2 ที่ตัวตั้งด้วยเพื่อให้ผลหารไม่เปลี่ยนแปลง

ตัวหารกลายเป็น 100 ทำให้หาผลหารได้ง่าย

723 x 2 = 1446 เมื่อหารด้วย 100 จะได้ผลหารเป็นเลขชุดนี้ แต่ตำแหน่งทศนิยมถูกเลื่อนไปทางซ้าย 2 ตำแหน่ง

ตัวอย่างที่ 2

ตัวหารคือ 25 สามารถแปลงให้เป็น 100 โดยคูณด้วย 4 ต้องคูณทั้งตัวตั้งและตัวหารเพื่อให้ผลหารไม่เปลี่ยนแปลง

นำ 4 ไปคูณ 312 หาคำตอบได้ง่ายกว่า นำ 25 ไปหาร 312

คำตอบของการหารด้วย 100 คือใส่ทศนิยม 2 ตำแหน่ง

แม้ว่าจะไม่สามารถแปลงตัวหารให้อยู่ในรูป 10ⁿ แต่ถ้าสามารถแปลงให้ตัวท้ายเป็น 0 ก็ได้ประโยชน์จากคุณสมบัติของ 10ⁿ เพราะถ้าตัวท้ายเป็น 0 แสดงว่ามี 10 เป็นตัวประกอบ

นำ 2 ไปคูณ 15 เพื่อแปลงตัวหารให้ลงท้ายด้วย 0 เนื่องจาก 15 x 2 = 30

เมื่อคูณ 2 ที่ตัวหารแล้ว ต้องคูณ 2 ที่ตัวตั้งด้วยเพื่อให้ผลหารไม่เปลี่ยนแปลง

นำ 30 มาแยกตัวประกอบจะได้ 3 x 10

นำ 10 ไปหาร 696 ได้ 69.6

นำ 3 ไปหาร 69.6 ได้ผลหารคือ 23.2

เนื่องจากการหารด้วย 10 นั้นหาคำตอบง่ายกว่าหารด้วย 9 เราจึงนำคำตอบของการหารด้วย 10 มาใช้เป็นค่าประมาณของคำตอบของการหารด้วย 9 เพราะ 9 มีค่าใกล้กับ 10

ถ้าหารด้วย 10 เศษจากการหารคือตัวเลขหลักสุดท้ายของตัวตั้ง

ถ้าหารด้วย 10 ได้ผลหารคือ 5 ดังนั้นคำตอบของการหารด้วย 9 ต้องไม่ต่ำกว่า 5 เพราะตัวหารมีค่าน้อยลง ผลหารจะมีค่ามากขึ้น  หารด้วย 10 เหลือเศษ 2 ถ้าหารด้วย 9 ต้องได้เศษมากกว่า 2 คำถามคือ ได้เศษเท่าไร

9 มีค่าน้อยกว่า 10 อยู่ 1 ถ้าใช้ 9 แทน 10 ในการหาร จะได้เศษเพิ่มขึ้นอีก 1 สำหรับแต่ละครั้งที่หาร  นำ 10 ไปหาร 52 ได้ 5 ครั้ง  ถ้านำ 9 ไปแทน 10 และหาร 52 ได้ 5 ครั้งจะเหลือเศษเพิ่มขึ้น 5 X 1 = 5  หารด้วย 10 เหลือเศษ 2 หารด้วย 9 เหลือเศษเพิ่มขึ้นอีก 5 ดังนั้นเศษจากการหารด้วย 9 คือ 5+2

เทคนิคการหารด้วย 9 

เพื่อให้ง่ายในการนำหลักการนี้ไปใช้กับโจทย์ข้ออื่น เราสรุปขั้นตอนการหารด้วย 9 ดังนี้

1.	เปลี่ยนตัวหารจาก 9 เป็น 10 เพื่อประมาณผลหารเบื้องต้น นำผลหารของ 10 ที่เป็นจำนวนเต็มมาเป็นค่าประมาณผลหารของ 9
2.	แบ่งตัวตั้งเป็นเลข 2 จำนวน จำนวนแรกคือหลักหน่วย ส่วนที่เหลือคือจำนวนที่สอง
3.	เศษที่ได้จากการหารด้วย 9 คือผลบวกของเลข 2 จำนวนที่ได้จากการแบ่งในขั้นที่ 2
4.	ถ้าเศษที่ได้มากกว่า 9 (ตัวหาร) แสดงว่าผลหารที่ประมาณไว้ในขั้นที่ 1 ต่ำกว่าความเป็นจริง ให้นำ 9 ไปหารเศษ แล้วนำผลหารไปบวก กับผลหารที่ประมาณไว้ในขั้นที่ 1 (หารด้วย 9 คือทำซ้ำขั้นตอนที่ 1 - 4 อีกรอบ)

ตัวอย่างต่อไปเป็นการนำหลักการที่สรุปไว้ 4 ขั้นตอนนี้ไปใช้ 

ตัวอย่างที่ 1

1. หาร 71 ด้วย 10 ได้ผลหารคือ 7.1 ดังนั้นประมาณค่าผลหารเบื้องต้นไว้ที่ 7 2. แบ่งตัวตั้งเป็นเลข 2 จำนวน จำนวนแรกคือ 1 (หลักหน่วย) จำนวนที่สอง คือ 7 (ส่วนที่เหลือของตัวตั้ง) 3. เศษที่ได้จากการหารด้วย 9 คือ 7 + 1 = 8

ตัวอย่างที่ 2

1. หาร 65 ด้วย 10 ได้ผลหารคือ 6.5 ดังนั้นประมาณค่าผลหารเบื้องต้นไว้ที่ 6 2. แบ่งตัวตั้งเป็นเลข 2 จำนวน จำนวนแรกคือ 5 (หลักหน่วย) จำนวนที่สอง คือ 6 (ส่วนที่เหลือของตัวตั้ง) 3. เศษที่ได้จากการหารด้วย 9 คือ 6 + 5 = 11 4. เศษ 11 มากกว่า 9 (ตัวหาร) แสดงว่าค่าประมาณผลหารซึ่งประมาณไว้ที่ 6 นั้นเป็นค่าที่ต่ำกว่าความเป็นจริง  นำ 9 ไปหาร 11 ได้ผลหารคือ 1 เหลือเศษ 2 ดังนั้นนำผลหารที่ได้ไปบวกเพิ่มที่ค่าซึ่งประมาณไว้  ผลหารที่ถูกต้องคือ 6 + 1 = 7 เหลือเศษ 2

ตัวอย่างที่ 3

1. หาร 135 ด้วย 10 ได้ผลหารคือ 13.5 ดังนั้นประมาณค่าผลหารเบื้องต้นไว้ที่ 13 2. แบ่งตัวตั้งเป็นเลข 2 จำนวน จำนวนแรกคือ 5 (หลักหน่วย) จำนวนที่สอง คือ 13 (ส่วนที่เหลือของตัวตั้ง) 3. เศษที่ได้จากการหารด้วย 9 คือ 13 + 5=18 4. เศษ 18 มากกว่า 9 (ตัวหาร) แสดงว่าค่าประมาณผลหารซึ่งประมาณไว้ที่ 13 นั้นเป็นค่าที่ต่ำกว่าความเป็นจริง  นำ 9 ไปหาร 18 ได้ผลหารคือ 2 จากนั้นนำผลหารที่ได้ไปบวกเพิ่มที่ค่าซึ่งประมาณไว้  ผลหารที่ถูกต้องคือ 13 + 2 = 15

ตัวอย่างที่ 4

1. หาร 3254 ด้วย 10 ได้ผลหารคือ 325.4 ดังนั้นประมาณค่าผลหารเบื้องต้นไว้ที่ 325 2. แบ่งตัวตั้งเป็นเลข 2 จำนวน จำนวนแรกคือ 4 (หลักหน่วย) จำนวนที่สอง คือ 325 (ส่วนที่เหลือของตัวตั้ง) 3. เศษที่ได้จากการหารด้วย 9 คือ 325 + 4 = 329 4. เศษ 329 มากกว่า 9 (ตัวหาร) แสดงว่าค่าประมาณผลหารซึ่งประมาณไว้ที่ 325 นั้นเป็นค่าที่ต่ำกว่าความเป็นจริง  นำ 9 ไปหาร 329 พิจารณาเลขชุดนี้เหมือนโจทย์อีกข้อของการหารด้วย 9 ดังนั้นจึงหาคำตอบโดยทำซ้ำตั้งแต่ขั้นตอนที่ 1 - 4 ใหม่อีกรอบ

1. หาร 329 ด้วย 10 ได้ผลหารคือ 32.9 ดังนั้นประมาณค่าผลหารเบื้องต้นไว้ที่ 32 2. แบ่งตัวตั้งเป็นเลข 2 จำนวน จำนวนแรกคือ 9 (หลักหน่วย) จำนวนที่สอง คือ 32 (ส่วนที่เหลือของตัวตั้ง) 3. เศษที่ได้จากการหารด้วย 9 คือ 32 + 9 = 41 4. เศษ 41 มากกว่า 9 (ตัวหาร) แสดงว่าค่าประมาณผลหารซึ่งประมาณไว้ที่ 32 นั้นเป็นค่าที่ต่ำกว่าความเป็นจริง  นำ 9 ไปหาร 41 พิจารณาเลขชุดนี้เหมือนโจทย์อีกข้อของการหารด้วย 9 ดังนั้นจึงหาคำตอบโดยทำซ้ำตั้งแต่ขั้นตอนที่ 1 - 4 ใหม่อีกรอบ

1. หาร 41 ด้วย 10 ได้ผลหารคือ 4.1 ดังนั้นประมาณค่าผลหารเบื้องต้นไว้ที่ 4 2. แบ่งตัวตั้งเป็นเลข 2 จำนวน จำนวนแรกคือ 1 (หลักหน่วย) จำนวนที่สอง คือ 4 (ส่วนที่เหลือของตัวตั้ง) 3. เศษที่ได้จากการหารด้วย 9 คือ 4 + 1 = 5

คำตอบสุดท้ายคือนำผลหารที่ประมาณไว้ทั้งหมดมารวมกันคือ 325 + 32 + 4 = 361  เศษจากการหารคือเศษในขั้นตอนสุดท้าย  แม้ว่าตัวอย่างนี้ จะพิสูจน์ว่าขั้นตอน 4 ขั้นตอนที่กำหนดไว้สามารถใช้ได้เสมอ ไม่ว่าตัวตั้งจะเป็นเลขกี่หลัก แต่ไม่แนะนำให้ใช้วิธีนี้กับโจทย์ที่ตัวตั้งมากกว่า 3 หลัก เพราะต้องวนทำซ้ำ 4 ขั้นตอนหลายรอบ ทำให้ได้คำตอบช้ากว่านำ 9 ไปหารโดยตรง เทคนิคการหารโดยแยกตัวประกอบ  เทคนิคนี้เหมาะกับโจทย์ที่ตัวหารเป็นเลข 2 หลักหรือมากกว่า 2 หลัก  ให้นำตัวหารมาแยกตัวประกอบเพื่อลดขนาดของตัวหารให้เล็กลงเป็นเลขหลักเดียว จึงหารได้ง่าย และลดความเสี่ยงในการคิดเลขผิด เพราะจำนวนเลขมีขนาดเล็กลง  ตัวอย่างที่ 1 นำ 21 มาแยกตัวประกอบได้ 7 x 3 จากนั้นนำตัวประกอบไปหารตัวตั้ง นำ 7 หรือ 3 ตัวใดไปหารก่อนก็ได้ คำตอบในขั้นตอนสุดท้ายจะเท่ากัน  แต่ขอแนะนำให้นำตัวน้อยคือ 3 ไปหารก่อน เพราะหารง่าย และทำให้ขนาดของตัวตั้งลดลง เมื่อนำตัวประกอบไปหารตังตั้งครบทุกตัวแล้วจะได้คำตอบสุดท้าย ซึ่งคือผลหารของ 21 ตัวอย่างที่ 2  กรณีที่หารไม่ลงตัว สามารถเลือกตอบเป็นเลขทศนิยมหรือเลขเศษส่วน ตัวอย่างนี้แสดงการหาผลหารโดยวิธีแยกตัวประกอบ และตอบเป็นเลขทศนิยม (หารไม่ลงตัว) นำ 21 มาแยกตัวประกอบได้ 7 x 3  3 หาร 658 ไม่ลงตัว แต่ 7 หาร 658 ลงตัว  นำ 3 หรือ 7 ไปหาร 658 ก่อนก็ได้ แต่แนะนำให้นำตัวประกอบที่หารลงตัวไปหารก่อน เพื่อลดจำนวนครั้งของการหาร เพราะถ้าหารลงตัวจะไม่มีเลขทศนิยม ต้องการคำตอบเป็นเลขทศนิยม 2 ตำแหน่ง ดังนั้นจึงใส่ . และเติม 0 หลังตัวตั้ง 3 ตัวเพื่อให้ได้ผลหารเป็นทศนิยม 3 ตำแหน่ง ถ้าเลขทศนิยมตำแหน่งที่ 3 มีค่าต่ำกว่า 5 ให้ปัดลง(ปัดทิ้ง) แต่ถ้ามีค่าตั้งแต่ 5 ขึ้นไปให้ปัดขึ้น (+1ที่เลขทศนิยมตำแหน่งที่ 2) ทศนิยมตำแหน่งที่สามของผลหารต่ำกว่า 5 จึงปัดทิ้ง คำตอบคือ 31.33 ตัวอย่างที่ 3 แสดงการหาผลหารโดยวิธีแยกตัวประกอบ และตอบเป็นเลขเศษส่วน (หารไม่ลงตัว) นำ 42 มาแยกตัวประกอบได้ 2 x 3 x 7  นำ 2 ไปหาร 2177 ได้ผลหารคือ 1088 เหลือเศษ 1  นำ 3 ไปหาร 1088 ได้ผลหารคือ 362 เหลือเศษ 2  นำ 7 ไปหาร 362 ได้ผลหารคือ 51 เหลือเศษ 5  51 คือผลหารตัวสุดท้าย หมายถึงคำตอบของการหาร 2177 ด้วย 42  เนื่องจากโจทย์ข้อนี้หารไม่ลงตัว คำถามคือเศษที่เกิดจากการหารด้วย 42 เป็นเท่าไร ถ้านำ 42 ไปหาร 2177 โดยตรง เศษจากการหารด้วย 42 ต้องเป็นเลขที่เหลือจากตัวตั้งคือ 2177 แต่เรานำ 42 ไปแยกตัวประกอบ แล้วนำตัวประกอบไปหาร 2177 ได้เศษที่เกิดจากการหาร 3 ตัว ซึ่งอยู่ในระดับที่ต่างกัน 3 ระดับ  เศษ 1 เกิดจากการหาร 2177 ด้วย 2 เป็นเศษที่ได้จาก 2177 ดังนั้นเศษตัวนี้เป็นระดับเดียวกับการหารด้วย 42  เศษ 2 เกิดจากการหาร 1088 ด้วย 3 เป็นเศษที่ได้จาก 1088 ซึ่งเกิดจากการหาร 2177 ด้วย 2 ดังนั้นเศษ 2 ต้องถูกปรับให้อยู่ในระดับเดียวกับ 2177 นั่นคือต้องปรับให้กลับไปอยู่ในรูปเดิมคือก่อนที่จะถูกหารด้วย 2 ดังนั้นวิธีปรับคือ นำเศษ 2 ไปคูณด้วยตัวหารที่อยู่เหนือ 3 เมื่อปรับแล้วจะได้ 2 x 2 = 4  เศษ 5 เกิดจากการหาร 362 ด้วย 7 เป็นเศษที่ได้จาก 362 ซึ่งเกิดจากการหาร 2177 ด้วย 2 และ 3 ตามลำดับ ดังนั้นเศษ 5 ต้องถูกปรับให้อยู่ในระดับเดียวกับ 2177 นั่นคือต้องปรับให้กลับไปอยู่ในรูปเดิมคือก่อนที่จะถูกหารด้วย 2 และ 3 ดังนั้นวิธีปรับคือ นำเศษ 5 ไปคูณด้วยตัวหารที่อยู่เหนือ 7 เมื่อปรับแล้วจะได้ 5 x 3 x 2 = 30  เศษจากการหาร 2177 ด้วย 42 คือ 1 + 4 + 30 = 35